Question

如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,P为BC边上任意一点 (1)证明:AP^2+PB*PC=1

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(2)若BC边上有100个不同的点(不与B和C重合)P1、P2……P100，设Mi=APi^2+PiB*PC(i=1,2……，100），求M1+M2+M3……+M100的值

Answer 1

1、作BC中点O，连接AO，有BO=CO,设P在OC上，有BP=BO+OP,CP=CO-OP=BO-OP,则BP*CP=BO^2-OP^2,而AB^2=AO^2+BO^2,则16＝AB^2=(AO^2+OP^2)+(BO^2-OP^2)=AP^2+BP*CP。

2、由P的任意性知：Mi＝16，答案＝1600