Question

设f（x）=|2-x²|,若0<a<b且f（a）=f（b）,则a+b的取值范围是 A（0,2） B

设f（x）=|2-x²|,若0<a<b且f（a）=f（b）,则a+b的取值范围是 A（0,2） B（0,√2） C（0,4） D（0,2√2）

Answer 1

你好：选A

a,b都是正数且a≠b
f(a)=f(b)
所以2-a²和2-b²一正一负
所以2-a²+2-b²=0
a²+b²=4因为平方数大于等于0
所以(a-b)²≥0
a²+b²-2ab≥0
4=a²+b²≥2ab
ab≤2
a,b都是正数
所以0<ab≤2
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Answer 2

令f(x)=m>0，去掉绝对值号：
（1）2-X1^2=m,因为0<a<b,所以，x>0,所以，X1=√(2-m);
（2）2-X2^2=-m,X2=√(m+2);
所以a+b=X1+X2=√(2-m)+√(2+m)，要使f(a)+f(b),则2-m>0,所以,2>m>0;
对m求导，得到:[√(2-m)-√(2+m)]/2√(4-m^2)，容易看出，a+b的极大值在m=0处取得，且a+b在m属于(0,2)上单调递减，所以2<a+b<2√2