Question

同解齐次线性方程组的秩是否一定相等？

Answer 1

同解齐次线性方程组的秩一定相同。
两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解,x是n维列向量
解相同,所以可以有相同的极大无关组,也就是有相同的基础解系,
基础解系所含的向量个数也是一样的
但是Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)
但是Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)
所以
n-r(A)=n-r(B)
从而
r(A)=r(B)
秩是线性代数术语，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是
A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是
A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵
A的秩。通常表示为
rk(A)
或
rank
A。
m×
n矩阵的秩最大为
m和
n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。