Question

在△ABC中,三个内角A,B,C,的对边分别是a,b,c,其中c=10切CosA/CosB=b/a=4/3.求证:1

Answer 1

由正弦定理:b/a=sinB/sinA=cosA/cosB
∴sinAcosA=sinBcosB===>2sinAcosA=2sinBcosB
sin2A=sin2B====>2A=2B或2A+2B=180
∵b/a=4/3≠1
∴A≠B,
∴A+B=90
∴△ABC是直角三角形
∴AB是直径,AOB在一条直线上,连结PO,CO,
设:∠ABC=∠B,
∠POC=∠O
sinB=b/c=8/10=4/5,
cosB=3/5
∠POA=60º(△AOP为正三角形),
∴∠O=120º-∠COB=120º-(180º-2B)=2B-60º
∴sinO=sin(2B-60º)=2sin(B-30º)cos(B-30º)=2[(4√3-3)/10)][(3√3+4)/10]=(48-7√3)/50
∴S△POC=5*5*sinO/2=(48-7√3)/4
又S△AOP=5*5*sin60º/2=25√3/4,
S△BOC=5*6*sinB/2=12
∴S◇ABCP=S△(POC+AOP+BOC)=24+9√3/2