Question

已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5

Answer 1

sin(A+B)=3/5,
sin(A-B)=1/5
则：sin(A+B)=3sin(A-B)
sinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB
2sinAcosB=4cosAsinB
sinA/cosA=2sinB/cosB
tanA=2tanB
(2)sin(A+B)=3/5
sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=3/5
则：cosC=根号(1-sin²C)=4/5
则：tanC=sinC/cosC=3/4
tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC=-3/4
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-3/4
3tanB/(1-2tan²B)=-3/4
2tan²B-1=4tanB
2tan²B-4tanB-1=0
tanB=(4+2√6)/4=(2+√6)/2
tanA=2tanB=2+√6
设AB边上的高是CD=H
tanA=H/AD,tanB=H/BD
AD+BD=AB=H/tanA+H/tanB=H/tanA+2H/tanA=3H/tanA=3
H=tanA=2+根号6
即AB边上的高是；2+根号6。

Answer 2

sin(a
b)
sin(a-b)=2sinacosb=3/5
1/5=4/5
所以sinacosb=2/5
sin(a
b)-sin(a-b)=2cosasinb=3/5-1/5=2/5
所以cosasinb=1/5
（sinacosb）/（cosasinb）=（2/5）/（1/5）＝2
即tgactgb＝2
设ab边上的高为cd，d为垂足
则tgactgb＝(cd/ad)*(bd/cd)=bd/ad=2
因为ab=3
所以ad=1,bd=2
因为abc是锐角三角形
所以0°<∠c<90°
所以90°<∠a
∠b<180°
cos(a
b)=-√[1-（3/5）^2]=-4/5
-90°<∠a-∠b<90°
所以cos(a-b)=√[1-（1/5）^2]=2√6/5
所以cos(a
b)
cos(a-b)=2cosacosb＝-4/5
2√6/5
所以cosacosb＝（√6-2）/5
（sinacosb）/（cosacosb）=（2/5）/[（√6-2）/5]＝√6
2
即tga＝√6
2＝cd/ad=cd/1
所以cd＝√6
2
所以ab边上的高为√6
2