Question

在三角形ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD垂直BC于D.点P,Q分别从B.C两点同时出发

,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;Q沿CA,AB向终点B运动,速度为2cm/s.设它们运[ 标签：abc,bc ad,b.c ] 在三角形ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD垂直BC于D.点P,Q分别从B.C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;Q沿CA,AB向终点B运动,速度为2cm/s.设它们运动时间为x/s(1)求x为何值时,PQ垂直AC(2)设三角形PQD的面积为y(cm2)当0<x<2时,求y与x的函数关系式;(3)当0<x<2时,求证AD平分三角形PQD的面积 发

Answer 1

在如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
(1)求x为何值时,PQ垂直AC (2)设三角形PQD的面积为y(cm2)当0<x<2时,求y与x的函数关系式;



(3)当0<x<2时,求证AD平分三角形PQD的面积解：当点P运动到点D时，点Q正好运动到点A，此时△PDQ不存在，S△PDQ=0 ∵AB=BC=CA=4 ∴∠BAC=∠C=∠B=60° ∵AD⊥BC ∴BD=DC=1/2BC=2 分两种情况讨论：（1）0＜x＜2时（Q点在AC） 则BP=x CQ=2x ∴PD=2-x 过点Q作QM⊥BC，垂足为M ∴QM=√3x ∴y=S△PDQ=1/2PD*QM=√3/2x(2-x)=-√3/2(x-1)²+√3/2 ∴x=1时 y有最大值√3/2 (2)2＜x＜4时 （Q点在AB上）则BP=x DP=x-2 AC+AQ=2x AQ=2x-4 BQ=AB-AQ=4-(2x-4)=8-2x 过点Q作QN⊥BC，垂足为N ∴QN=√3/2BQ=√3(4-x) ∴y=S△PDQ=1/2PD*QN=√3/2(x-2)（4-x)=-√3/2(x-3)²+√3/2 ∴当x=3时 y有最大值√3/2 综上所述，△PDQ的面积y与时间x的解析式为: y=-√3/2(x-1）²+√3/2(0≤x≤2) 或y=-√3/2(x-3)²+√3/2(2≤x≤4)(x=0.2,4时,y=0 满足解析式）