Question

原函数不能用初等函数表示的不定积分怎么求定积分

Answer 1

很多手段的。比如把一维问题化为高维利用重积分的一些手段（典型例子高斯积分exp(-ax^2)，积分限正负无穷），还有将被积函数作泰勒展开或洛朗展开，每项积分完了再求和回去（典型例子求1/[bexp(-ax^2)-1],b>1，积分限正负无穷），或者利用复变函数中的留数定理进行围道积分。不过这些方法都有自己的适用条件（比如级数的方法，要求原函数在定义域内的展开都是收敛的，积分完后的级数也是收敛的），基本上能这样积出来的一般买本积分表或者利用mathematic之类的软件都能查到。其他的一般也只能编程数值计算了。
至于你想求的那个，可以明确告诉你是不存在解析解的（为了表示这类积分，数学上特意引入了误差函数,当然误差函数是e(-x^2),不过在不能精确求解这一点上没有区别），只能数值求解。

Answer 2

如果原函数不是初等函数，一个办法是用二重积分间接计算，下图是一个例子。另外一个办法，如果是有界区域上的积分，也可以用幂级数展开得出近似值。