Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB的中点，连接ME,MD,ED.

(1)求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DBE

Answer 1

（1）DM是Rt△ABD斜边上的中线，可得：DM = BM ；EM是Rt△ABE斜边上的中线，可得：EM = BM ；所以，DM = EM ，即有：△MED为等腰三角形。 （2）因为，DM = BM ，EM = BM ，所以，∠MBD = ∠MDB ，∠MBE = ∠MEB ，可得：∠AMD = ∠MBD+∠MDB = 2∠MBD ，∠AME = ∠MBE+∠MEB = 2∠MBE ，所以，∠EMD = ∠AMD-∠AME = 2(∠MBD-∠MBE) = 2∠DBE 。

追问

为什么DM是Rt△ABD斜边上的中线可得DM = BM ？

追答

换一种方法 证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=1/2AB，MD=1/2AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；

（2）∵ME=1 /2 AB=MA，

∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，

同理，MD=1 /2AB=MA，

∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC

追问

为什么M为AB边的中点，就能得ME=1/2AB，MD=1/2AB

追答

（2）由（1）得∵ME=1 /2 AB=MA，

∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，

同理，MD=1 /2AB=MA，

∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC

Answer 2

（1）
DM是Rt△ABD斜边上的中线，可得：DM = BM ；
EM是Rt△ABE斜边上的中线，可得：EM = BM ；
所以，DM = EM ，
即有：△MED为等腰三角形。
（2）
因为，DM = BM ，EM = BM ，
所以，∠MBD = ∠MDB ，∠MBE = ∠MEB ，
可得：∠AMD = ∠MBD+∠MDB = 2∠MBD ，∠AME = ∠MBE+∠MEB = 2∠MBE ，
所以，∠EMD = ∠AMD-∠AME = 2(∠MBD-∠MBE) = 2∠DBE 。
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