Question

设f(x)=[2(logx(x))^2]+2alog2(1/x)+b,已知x=1/2时，f(x)有最小值-8,求a,b

Answer 1

f(x)=[2(log2(x))^2]+2alog2(1/x)+b
=[2(log2(x))^2]-2alog2(x)+b
令log2(x)=t
则可换为：
f(t)=2t^2-2at+b
而抛物线在对称轴处取得最值，而次抛物线开口向上，则取得最小值
即：f(t)=2(t-a/2)^2+b-a^2/2
而此时t=a/2时，取得最小值
由题意，当x=1/2时，f(x)有最小值-8
则：x=1/2，则t=-1
a/2=-1
b-a^2/2=-8
则，a=-2，b=-6
则：
f(t)=2t^2+4t-6=2(t+3)(t-1)
f(x)>0
则t>1，或者t<-3
则可知
log2(x)>1,或者log2(x)<-3
则，0<x<1/8,或x>2