Question

已知X.Y.Z均为正数，1/X+1/Y+1/Z=1.则X/YZ+Y/ZX+Z/XY的最小值是

Answer 1

先来证明X/YZ+Y/ZX+Z/XY≥1/X+1/Y+1/Z
因为X.Y.Z均为正数，所以两边乘以xyz，证明x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz，就是证明(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
易证。
故X/YZ+Y/ZX+Z/XY≥1/X+1/Y+1/Z=1
即X/YZ+Y/ZX+Z/XY的最小值是1。

Answer 2

根据柯西不等式(∑ai^2)(∑bi^2)
≥
(∑ai·bi)^2 ，二维的是(a^2＋b^2)(c^2
+
d^2)≥(ac+bd)^2
可以知道（X/YZ+Y/ZX+Z/XY）（X/YZ+Y/ZX+Z/XY）≥
（1/X+1/Y+1/Z）^2即为1
又X.Y.Z均为正数所以X/YZ+Y/ZX+Z/XY也是正数。所以最小值是1

Answer 3

x/yz+y/xz+z/xy=(x的平方＋y的平方＋z的平方)/xyz=[1/2(x的平方+y的平方)+(x的平方+z的平方)+(y的平方+z的平方)]/xyz>=xy+xz+yz/xyz又根据条件可把1/x+1/y+1/z=1通分得
yz+xz+xy=xyz
所以原式最小值为1