证明:R是A上的关系,若R是自反的和传递的,则有R^2 = R。其逆命题也成立吗?证明之
3个回答
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先证R^2包含于R
设（a，b）属于R^2,存在c属于A，使得（a，c）属于R，（c，b）属于R
因为R是传递的，所以（a，b）属于R，则R^2包含于R
再证R包含于R^2
设（a，b）属于R，R是自反的，（b，b）属于R，所以（a，b）属于R^2，则R包含于R^2
所以R=R^2
反之，自反不成立，传递成立
设（a，b）属于R^2,存在c属于A，使得（a，c）属于R，（c，b）属于R
因为R是传递的，所以（a，b）属于R，则R^2包含于R
再证R包含于R^2
设（a，b）属于R，R是自反的，（b，b）属于R，所以（a，b）属于R^2，则R包含于R^2
所以R=R^2
反之，自反不成立，传递成立
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