Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，延长BA至E，使AE=BD,试猜想EC与ED

有何数量关系?并证明你的猜想

Answer 1

EC=ED

【证法1】

在BE上截取BF=BD，连接DF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴BF=DF=BD=AE，

∴AE-AF=BF-AF，即EF=AB=AC，

在△EAC和△DFE中，

AC=EF，∠EAC=∠DFE=120°，AE=FD，

∴△EAC≌△DFE（SAS），

∴EC=ED.

【证法2】

延长BD至F，使DF=BC，连接EF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

∵AE=BD，

∴AE+AB=BD+DF，

即BE=BF，

∴△BEF是等边三角形，

∴BE=EF，∠B=∠F=60°，

又∵BC=DF，

∴△BCE≌△FDE（SAS），

∴EC=ED.

Answer 2

EC=ED
.证明:延长BD到F,使DF=BC,连接EF.
∵AB+AE=DF+BD,
∴BE=BF.
而∠B=60度,
∴△BEF为正三角形,
∴∠F=60度,BE=FE.
又∵DF=BC,
∴△BEC≌△FED,
∴EC=ED.