Question

已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，当x属于（0，1）时，f(x)=2^x/(4^x+1)

Answer 1

解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=
2-x4-x+1
=
2x4x+1
=-f(x)，
∴f(x)=-
2x4x+1
，
∴f(x)=
-
2x4x+1，x∈(-1，0)0，x∈{-1，0，1}2x4x+1，x∈(0，1).
（2）设0＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=
(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(4x1+1)(4x2+1)
＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
(3)令
t
=
2^x,
有
t∈(1/2,
2),f(t)
=
t/(t^2+1)
=M
整理有Mt^2
-t+M=0
若M=0，t=0,所以x无解
所以必定是二次方程，
b^2-4ac
=
1-4M^2>=0
有M
∈[-1/2，
1/2]
其两根为
x1
=
1-(1-4M^2)^1/2
/
2M和x2
=
1-(1-4M^2)^1/2
/
2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2
>
1-(1-4M^2)^1/2
>
0,
所以M>0
若x1∈(1/2,
2),
1/2<(1+(1-4M^2)^1/2)/2M<2
解得
M∈(2/5,
1/2]
若x2∈(1/2,
2),
1/2<(1-(1-4M^2)^1/2)/2M<2
解得
M∈(2/5,
1/2]
所以当M∈(2/5,
1/2]
f(x)
=
M有解
所以要M有实数解要求m∈(2/5,
1/2]

Answer 2

(1)
x∈(-1,
0)
-x∈(0,
1)
f(-x)=
2^(-x)/(4^(-x)
+
1)
=
2^x/(4^x+1)
由于
奇函数
，f(-x)
=
-f(x)
=
2^x/(4^x+1).
所以f(x)
=
-2^x/(4^x+1)
另外由于奇函数，所以f(0)
=
f(-0)
=
-
f(0)
=
0
由于
周期函数
f(1)
=
f(-1)
=
-f(1)
=
0
所以
解析式
为
-2^x/(4^x+1)
x∈(-1,
0)
f(x)
=
2^x/(4^x+1)
x∈(0,
1)
0
x=-1,0,1
(2)
单调性
f(x)
=
2^x/(4^x+1)
x∈（0,1）令
t
=
2^x
则t∈(1，2)，且t的对x单调递增
原式化为
f(t)
=
t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接
求导
了，
f'(t)
=
(t^2+1-
2t
^2)/(t^2+1)^2
=
(1-t^2)/(t^2+1)^2<
0
所以在（0,1）上单调递减
如果没有学过导数，则选t'>t
f(t')
-
f(t)
=
t'/(t'^2+1)
-
t/(t^2+1)
=
(
tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1)
<0
所以随着t增大f(t)减小，单调递减
(3)令
t
=
2^x,
有
t∈(1/2,
2),f(t)
=
t/(t^2+1)
=M
整理有Mt^2
-t+M=0
若M=0，t=0,所以x无解
所以必定是
二次方程
，
b^2-4ac
=
1-4M^2>=0
有M
∈[-1/2，
1/2]
其两根为
x1
=
1-(1-4M^2)^1/2
/
2M和x2
=
1-(1-4M^2)^1/2
/
2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2
>
1-(1-4M^2)^1/2
>
0,
所以M>0
若x1∈(1/2,
2),
1/2<(1+(1-4M^2)^1/2)/2M<2
解得
M∈(2/5,
1/2]
若x2∈(1/2,
2),
1/2<(1-(1-4M^2)^1/2)/2M<2
解得
M∈(2/5,
1/2]
所以当M∈(2/5,
1/2]
f(x)
=
M有解
所以要M有实数解要求m∈(2/5,
1/2]

Answer 3

1)
x∈(-1,
0)
-x∈(0,
1)
f(-x)=
2^(-x)/(4^(-x)
+
1)
=
2^x/(4^x+1)
由于奇函数，f(-x)
=
-f(x)
=
2^x/(4^x+1).
所以f(x)
=
-2^x/(4^x+1)
另外由于奇函数，所以f(0)
=
f(-0)
=
-
f(0)
=
0
由于周期函数f(1)
=
f(-1)
=
-f(1)
=
0
所以解析式为
-2^x/(4^x+1)
x∈(-1,
0)
f(x)
=
2^x/(4^x+1)
x∈(0,
1)
0
x=-1,0,1
(2)单调性f(x)
=
2^x/(4^x+1)
x∈（0,1）令
t
=
2^x
则t∈(1，2)，且t的对x单调递增
原式化为
f(t)
=
t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了，
f'(t)
=
(t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2
=
(1-t^2)/(t^2+1)^2<
0
所以在（0,1）上单调递减
如果没有学过导数，则选t'>t
f(t')
-
f(t)
=
t'/(t'^2+1)
-
t/(t^2+1)
=
(
tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1)
<0
所以随着t增大f(t)减小，单调递减
(3)令
t
=
2^x,
有
t∈(1/2,
2),f(t)
=
t/(t^2+1)
=M
整理有Mt^2
-t+M=0
若M=0，t=0,所以x无解
所以必定是二次方程，
b^2-4ac
=
1-4M^2>=0
有M
∈[-1/2，
1/2]
其两根为
x1
=
1-(1-4M^2)^1/2
/
2M和x2
=
1-(1-4M^2)^1/2
/
2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2
>
1-(1-4M^2)^1/2
>
0,
所以M>0
若x1∈(1/2,
2),
1/2<(1+(1-4M^2)^1/2)/2M<2
解得
M∈(2/5,
1/2]
若x2∈(1/2,
2),
1/2<(1-(1-4M^2)^1/2)/2M<2
解得
M∈(2/5,
1/2]
所以当M∈(2/5,
1/2]
f(x)
=
M有解
所以要M有实数解要求m∈(2/5,
1/2]