Question

(2013 扬州)如图,△ABC 内接于⊙O,弦AD⊥AB 交BC于点E,过点B作⊙O的切线交的延长线于点F

(2013 扬州)如图,△ABC 内接于⊙O,弦AD⊥AB 交BC于点E,过点B作⊙O的切线交的延长线于点F 且∠ABF=∠ABC

【1】 求证 AB=AC
【2】 若AD=4，COS∠ABF=4/5，

求DE的长

Answer 1

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠3=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠3=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

Answer 2

(1)由已知可得，DB⊥BF,BA⊥DF,所以∠ABF ∠AFB=∠BDF ∠BFD,又∠AFB=∠BFF,所以∠ABF=∠BDF.因∠ACB与∠ADB有公共的弦AB,所以∠ACB=∠ADB,已知∠ABF=∠ABC，所以∠ACB=∠ABC,即证AB=AC
(2)因AD=4，COS∠ABF=4/5，由
(1)证可得COS∠ADB=4/5,所以BD=5,BF=15/4,因∠ABF=∠ABC，BA⊥DF，所以AE=AF=9/4,DE=7/4