Question

已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x²+2x-1

Answer 1

(1)
f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=（-x)^2-2x-1=x^2-2x-1=-f(x),所以f(x)=-x^2+2x+1(x>0)
x=0时f(x)=0
故f(x)是R上的分段函数，x<0时，f(x)=x^2+2x-1,x=0时，f(x)=0,x>0时，f(x)=-x^2+2x+1
(2)f(x)为R上的偶函数，所以f(-x)=f(x)=x^2-2x-1,x=0时，f(x)=0
故f(x)是R上的分段函数，x<0时，f(x)=x^2+2x-1,x=0时，f(x)=0,x>0时，f(x)=x^2-2x-1

Answer 2

（1）由题意设x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=x
2
-2x-1，再由f（x）=-f（-x），求出x＞0时的解析式，又因f（0）=0，最后用分段函数表示出f（x）的解析式；
（2）由题意设x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=x
2
-2x-1，再由f（x）=f（-x），求出x＞0时的解析式，又因f（0）=f（-0）可放在任何一个范围内，最后用分段函数表示出f（x）的解析式；
解：（1）设x＞0，则-x＜0；
∵当x＜0时，f（x）=x
2
+2x-1，∴f（-x）=x
2
-2x-1，
∴f（x）为R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-x
2
+2x+1，
∴函数在R上的的解析式f（x）= {-x²+2x+1，x＞0
，x=0

x²+2x-1，x＜0；
（2）设x＞0，则-x＜0；
∵当x＜0时，f（x）=x
2
+2x-1，∴f（-x）=x
2
-2x-1，
∴f（x）为R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=x
2
-2x-1，
且f（0）=f（-0）=-1，
∴函数在R上的的解析式f（x）= {x²-2x-1，x≥0

x²+2x-1，x＜0．