Question

高中数学函数问题

Answer 1

判别式
为4b*b+12(a*a+a*b)=3a*a+(3a+2b)*(3a+2b),一定大于零
当a=0时,方程为2bx-b=0,X=0.5,
在（0，1）内
当a≠0时,
当X=0时,方程左边=-(a+b),当X=1时,方程左边=2a+b
若2a+b＞0＞-(a+b),
或若2a+b＜0＜-(a+b),这两种情况由
二次函数
的连续性可知此函数与X轴在（0，1）内有一个交点,所以在（0，1）内有一个根
若-(a+b)
＞0,且2a+b＞0
推出0＞-a
＞b
此时
函数图象
开口向上,顶点在X轴以下,且在（0，1）之间,又因为X=0时,
函数值
＞0,
X=1时,函数值＞0,
所以在（0，1）内有两个根
若-(a+b)＜0,
且2a+b＜0
推出-b＜a＜0
此时
函数图象
开口向下,顶点在X轴以上,且在（0，1）之间,又因为X=0时,函数值＜0,
X=1时,函数值＜0,
所以在（0，1）内有两个根
若b=0,则方程为3ax
*2
–a=0,
因为a≠0,
有一根为1/3的
平方根
,
在（0，1）内
综上所述知3ax
*2+2bx-
(a+b)=0在（0，1）内至少有一个根
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Answer 2

先求出函数的一阶导数，即y'=3x²，然后可以求出切线的方程为y=3a²x-2a³，从而求出其与x轴的交点为(2a/3，0)，故有：
0.5·|a/3|·|a³|=1/6，解这个方程即得a。

Answer 3

设函数f(x)=3ax^2+2bx-(a+b)
则f(0)·f(1)=-(a+b)(2a+b)
∵a、b是不全为0的实数
∴f(0)·f(1)＜0
∴方程3ax²+2bx-(a+b)=0在(0,1)内至少有一个根

Answer 4

y`=3x^2
故切线斜率k=3a^2
切线方程为:y=3a^2(x-a)+a^3=3a^2x-2a^3
其斜率为正值
令y=0,得x=2a/3
令x=a,得y=a^3
三角形面积=(1/2)|2a/3-a|*|a^3|=1/6
解得a=正负1

Answer 5

中点对应的函数值比两点的值的平均值大，说明中点对应的函数值在上方
所以函数应该是上凸的，
所以为C