Question

正弦、余弦定理公式及推导方式，高中数学竞赛几何常用求解方法（平面）

Answer 1

a/sinA=b/sinB=c/sinC
正弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
余弦定理1.在△ABC中，tanB=1,tanC=2,b=100,求a.
2.在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，求acosB+bcosA.
3.在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，若(a+b-c)·(sinB+sinB-sinC)=3asinB,求角C的大小。1.在△ABC中，tanB=1,tanC=2,b=100,求a.
因为A、B、C均为△ABC的内角
所以，A、B、C∈(0,180°)
已知，tanB=1
所以，B=45°
则，sinB=cosB=√2/2
又，tanC=2＞0
所以，C∈(0,90°)
所以，sinC=2/√5，cosC=1/√5
而，sinA=sin[180°-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
=(√2/2)*(2/√5)+(√2/2)*(1/√5)
=(√2/2)*(3/√5)
=3/√10
由正弦定理有：a/sinA=b/sinB得到：
a/(3/√10)=100/(√2/2)
所以，a=300*√2/√10=60√5
2.在△ABC中，A、B、C相对应的边分别是a、b、c，求acosB+bcosA.
acosB+bcosA
=a*[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]+b*[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]
=(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(b^2+c^2-a^2)/(2c)
=(a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2)/(2c)
=2c^2/(2c)
=c