Question

已知ab是圆o的直径 BC是圆o的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,连接OC,过C作OC的垂线

PC与ED的延长线交于点P.(1)求证：PC=PG (2)点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程。 （3）在满足（2）的条件下，已知圆o半径为5，若点O到BC的距离为根号5时，求弦DE的长。

Answer 1

（1）证明：连OC，如图，
∵ED⊥AB，
∴∠3+∠5=90°，
又∵PC=PG，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠5，∠4=∠3，
∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）证明：连OG，如图，
∵BG2=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，
而∠FBG=∠GBO，
∴△BGO∽△BFG，
∴∠OGB=∠BFG=90°，
即OG⊥BG，
∴BG=CG，即点G是BC的中点；

（3）解：连OE，如图，
∵ED⊥AB，
∴FE=FD，
而AB=10，ED=4
6
，
∴EF=2
6
，OE=5，
在Rt△OEF中，OF=
OE2-EF2
=
52-(2
6
)2

=1，
∴BF=5-1=4，
∵BG2=BF•BO，
∴BG2=BF•BO=4×5，
∴BG=2
5
．

追答

（1）证明：连OC，如图，
∵ED⊥AB，
∴∠3+∠5=90°，
又∵PC=PG，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠5，∠4=∠3，
∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）证明：连OG，如图，
∵BG2=BF•BO，即BG：BO=BF：BG，
而∠FBG=∠GBO，
∴△BGO∽△BFG，
∴∠OGB=∠BFG=90°，
即OG⊥BG，
∴BG=CG，即点G是BC的中点；

（3）解：连OE，如图，
∵ED⊥AB，
∴FE=FD，
而AB=10，ED=4
6
，
∴EF=2
6
，OE=5，
在Rt△OEF中，OF=
OE2-EF2
=
52-(2
6
)2

=1，
∴BF=5-1=4，
∵BG2=BF•BO，
∴BG2=BF•BO=4×5，
∴BG=2
5
．