Question

求助！！！limsin（X-π/3）/1-2cosX在X趋于π/3时的极限怎么求？

Answer 1

不好意思，我把分母看错了。是的，确实是间断点。
解：
要用换元法的话，令x－π/3＝t
，那么
x＝π/3＋t
，
x→π/3等价于
t→0
∴
原极限＝lim(
t→0)
sint
/
[1－2cos(π/3＋t)]
分子＝sint
分母用余弦的和角公式展开，分母＝1－2(1/2·cost－√3/2·sint)＝1－cost＋√3·sint
由于你说你们目前还没有学到洛必达法则，那做到这一步之后，只能考虑用极限的四则运算：
分子分母同时除以sint，则分子变为1，分母变为
(1－cost)/sint
＋√3
这时，只要求出(1－cost)/sint
的极限就可以了，
而lim
(
t→0)
(1－cost)/sint
＝0.5
t²
/
t
＝
0.5t
＝0
（上面是对1－cost
和sint
进行等价无穷小替换，1－cost
~
0.5
t²
，
sint
~
t
）
所以原极限＝1/(0＋√3)
＝1/√3
要是你说连
“等价无穷小的替换”都还没有学到，那就没有办法了。
要注意的是，在把分母展开后，不能立即用等价无穷小替换，因为，等价无穷小的替换定理，只允许替换
“乘除因子”或者对分子分母整体替换，不允许对加法的某一项进行替换，即便最后结果一样，也会被认为是错误的。