Question

如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线与BC边相交于点E,∠ABC的平分线与AD边相交于点F.

（1）求证：四边形ABEF是菱形
（2）若AB=4cm,∠BAD=120°，求AE,BF的长.

Answer 1

∵BF平分∠ABC∴∠ABF=∠FBC
因为AD∥BC ∴∠FBC=∠AFB ∴∠ABF=∠AFB∴AB=AF
∵AE平分∠BAD AD∥BC同理AB=BE
∴BE=AF且BE∥AF ∴ABEF为平行四边形
又∵AB=AF ∴是菱形
（2）∵abef为菱形 设AE ,BF交于O则AE⊥BF∴∠AOB=90°
∵∠BAD=120°∴∠BAE=60° ∠ABF=30°
因为AB=4∠ABF=30°∴AO=2 BO=2（根3）
∴AE=4 BF=4(根3)

Answer 2

（1）∵∠EAF=∠AEB(AD∥BC),∠EAF=∠BAE(AE平分∠BAD) ∴∠AEB=∠BAE ∴AB=BE 同理AB=AF ∴BE=AF ∵AD∥BC ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵AB=AF ∴平行四边形ABEF是菱形 （不一定是最简便的）
（2）∵∠BAD=120°∴∠ABE=60°又∵AB=BE ∴△ABE是正三角形 ∴AE=AB=4cm； ∵四边形ABEF是菱形 ∴AE垂直平分BF ∴设AE与BF交于点O AO=1/2AE=2cm BO=根号下AB²-AO²=二倍根号三 ∴BF=2BO=四倍根号3