Question

如图.已知 A,B是反比例函数 (k>0,x>0)图象上的两点.BC//x轴,交y轴于点C. 动点

P从坐标原点O出发，沿OABC(图中“)匀速运动，终点为C.过P作PMx轴，PNy 轴.垂足分别为M、N，设四边形OMPN 的面积为S，P点运动时间为t.，则S关于t 的函数图象大致为

为什么OA端是曲线，而不是一条直线呢？

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Answer 1

郭敦顒回答：
P从坐标原点O出发，沿OABC(图中“)匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴，PN⊥y 轴.垂足分别为M、N，设四边形OMPN 的面积为S，P点运动时间为t.，则S关于t 的函数图象大致为 下图。
设OA所在直线的方程是y= kx
∵点P做匀速运动，∴运动距离s=vt，速度v为常数，t=s/v，
点P在OA上运动，则有
s=√（x²+y²）
∵y= kx，x=y/k，∴s= y√（1+1/ k²）。

四边形OMPN 的面积为S=xy=kx²，S= kx²
∴s/S= y√（1+1/ k²）/ k x ²= vt/S
y√（1+1/ k²）/ k x ²= vt/S
y√（1+1/ k²）/ vk x ²= t/S
∴ t/S= y√（1+1/ k²）/ vk x²
比t/S是四边形OMPN 的对角线长与其面积之比，等于比y√（1+1/ k²）/ vk x²，
√（1+1/ k²）/ vk为常数，设为u，则
y√（1+1/ k²）/ vk x²= uy/x²，于是
t/S= uy/x²，
如此看OA段对应的图象是曲线，而且为抛物线，这就易于理解了。

追问

有什么比较简单的方法吗？好复杂啊。

追答

郭敦顒继续回答：
“比t/S是四边形OMPN 的对角线长与其面积之比，”——四边形OMPN 的面积与其边长的平方成正比——四边形OMPN 的面积与其对角线长的平方成正比。