Question

复变函数，|z|=1, 证明|（b的共轭*z+a的共轭）/（az+b）|=1

Answer 1

因为|z|=1，所以|Z|=1

|(B*z+A)/(az+b)|

=|Z|*|(B*z+A)/(az+b)|

=|(B+AZ)/(az+b)|

因为

|(B+AZ)与(az+b)换为共轭复数

所以

|B+AZ|=|az+b|

故得

|(B+AZ)/(az+b)|=1

所以等式得证。

复变函数发展历史

1、复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。

2、到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

3、为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。

4、二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

Answer 2

这里约定一下，当小写字母表示复数时，相应的大写字母表示对应的共轭复数，例如，a的共轭复数为A,
因为|z|=1,所以|Z|=1
|(B*z+A)/(az+b)|
=|Z|*|(B*z+A)/(az+b)|
=|(B+AZ)/(az+b)|
有因为
|(B+AZ)与(az+b)换为共轭复数，
所以
|B+AZ|=|az+b|
故得
|(B+AZ)/(az+b)|=1
所以等式得证。

Answer 3

证明：为便于表述，设复数z、a、b的共轭复数分别表示为z'、a'、b'。由丨z丨=1，有zz'=1。则丨(az+b)/(b'z+a')丨^2=(az+b)(a'z'+b')/(b'z+a')(bz'+a)丨=(aa'+ab'z+ba'z'+bb')/(b'b+ab'z+a'bz'+aa')=1。∴丨(az+b)/(b'z+a')丨=1。供参考啊。