Question

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0,当x>0时,证明不等式x/(x+1)<ln(x+1)

Answer 1

f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),f'(x)=(ax-1)/(x+1),由f'(x)>0得x>1/a,所以1/a为最小值点,
g(a)=f(1/a)=1-(a+1)ln(1+1/a),
则有f(0)>f(1/a)=g(a),即0>g(a);
-1/a
0)恒成立,ln(1+1/a)<1/a得证.(考虑函数h(x)=ln(1+x)-x的导数,h'(x)=-x/(1+x)<0,所以h(x)单调递减,所以h(x)
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