Question

证明：e^x>1＋x（x≠0）

Answer 1

证明：令y=e^x-x,则y'=e^x-1,
当y'=0时，x=0,为极值点,此时y=0，
当x>0时，y'>0,单调递增，
当x<0时，y'<0，单调递减，
即x=0时为最小极值点，y>0,
即e^x>1+x

Answer 2

证
设f(x)=e^x-(1+x),则f(0)=0,且f'(x)=e^x-1
由此可见，当x＞0时f'(x)＞0,从而f(x)在区间[0,＋∞)
上单调增加。当x＜0时f'(x)＜0,从而f(x)在区间（－∞,0]上单调减少
所以，x≠0时都有f(x)＞f(0)=0,即
f(x)=e^x-（1+x)＞0
(x≠0)
所以e^x>1＋x（x≠0）