Question

半径为2的球面上有A、B、C、D四个点,AB=CD=2,求四面体ABCD体积的最大值是多少?

2010全国卷理数12题

Answer 1

圆心为oAB=CD=2那么△AOB和△COD都是正三角形由于这两个三角形是完全等价的,所以它们之间的位置关系是等同的,也就是两个面要相互垂直,且圆心到AB CD的垂线在同一直线上.这时构成的四面体的体积=1/3*1/2*2根号3*2*2=4根号3/3证明的话,我们把AOB作为xy平面(水平面),把COD沿z轴(以o为中心左右)旋转,可以发现只有在AB的中垂线过COD平面的时候,体积才能取到最大.然后把COD上下旋转,假定,AB的中垂线和CD的中垂线夹角为a那么体积v=1/3* 1/2*(根号3+根号3/cosa)*2*2cosa2根号3/3*(1+cosa)当cosa=1 a=0的时候取得最大值,所以体积最大为v=4根号3/3

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