Question

f(x)在[0，1]上有二阶导数且 f(0)=f(1)=f'(0)=f'(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1).使f"(ξ)=f(ξ)

Answer 1

任取x,
由泰勒公式：
f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+f''(a)x^2/2
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2
x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2
|f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)
现考虑g(x)=((1-x)^2+x^2),g'(x)=2(x-1)+2x=4x-2
x=1/2为极值点
比较g(0)=1，g(1)=1，g(1/2)=1/2知：g(x)《1
所以：|f'(x)|=《0.5M
希望能解决您的问题。