Question

哪位大神帮解答

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Answer 1

第一题：
令x－1/2＝（√3/2）u，则：u＝（2/√3）（x－1/2），dx＝（√3/2）du。
∴∫［1/（x^2－x＋1）］dx
＝∫｛1/［（x^2－x＋1/4）＋3/4］｝dx＝（√3/2）∫｛1/［（3/4）u^2＋3/4］｝du
＝［（√3/2）/（3/4）］∫［1/（u^2＋1）］du＝（2√3/3）argtanu＋C
＝（2√3/3）arctan［（2/√3）（x－1/2）］＋C。

∴∫（上限为1，下限为0）［1/（x^2－x＋1）］dx
＝（2√3/3）arctan［（2/√3）（x－1/2）］｜（上限为1，下限为0）
＝（2√3/3）arctan［（2/√3）（1－1/2）］－（2√3/3）arctan［（2/√3）（0－1/2）］
＝（2√3/3）arctan（1/√3）－（2√3/3）arctan（－1/√3）
＝（2√3/3）×（π/6）－（2√3/3）×（π－π/6）
＝（2√3/3）×（π/3－π）
＝－（4√3/9）π。

第二题：
∵∫（xsinx）^2dx
＝∫x^2（sinx）^2dx＝（1/2）∫x^2（1－cos2x）dx＝（1/2）∫x^2dx－（1/4）∫cos2xd（2x）
＝（1/6）x^3－（1/4）sin2x＋C.
∴∫（上限为π，下限为0）（xsinx）^2dx
＝［（1/6）x^3－（1/4）sin2x］｜（上限为π，下限为0）
＝［（1/6）π^3－（1/4）sin2π］－［0－（1/4）sin0］
＝（1/6）π^3。