Question

两个向量组之间可线性表出,那么两个向量组的秩有什么关系

Answer 1

可以用利用线性无关的定义来证。
这里有一种较取巧的证法：
设向量组a与向量组b有相同的秩为r，a可由b线性表出，则a
有极大线性无关组（a1,a2,...,ar)
b
有极大线性无关组(b1,b2,...,br)
将之放到一起组成向量组c（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br)
,则由于b1,b2,....,br
可线性表出a1,a2,...,ar
中的任意一个，所以由极大线性无关组的定义，b1,b2,...,br是c中的极大线性无关组，于是c的秩为r，但同时a1,a2,...,ar也是线性无关的，因此也是c的极大线性无关组，这样
a1,a2,...,ar
就与b1,b2,...,br等价，因此a与b就等价（因为向量组都与自身的极大线性无关组等价）