Question

求1^n+2^n+3^n+...+n^n的值

Answer 1

平方数列和:
1^2+2^2+3^2+...+n^2=(1*0+1)+(2*1+2)+(3*2+3)+...+(n*(n-1)+n)
=1*0+2*1+3*2+...+n*(n-1)+1+2+3+...+n
=(n+1)n*(n-1)/3+n*(n+1)/2
=n*(n+1)*(2n+1)/6
立方数列和:
因为:m*(m-1)*(m-2)=m^3-3m^2+2m
所以:m^3=m*(m-1)*(m-2)+3m^2-2m
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1*0*(-1)+3*1^2-2*1)
+
(2*1*0+3*2^2-2*2)+...+(n*(n-1)*(n-2)+3n^2-2n)
=1*0*(-1)+2*1*0+...+n*(n-1)*(n-2)+3*1^2+3*2^2+...+3n^2-2*1+2*2+...+2n
=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)/4+3*n*(n+1)*(2n+1)/6-2*n*(n+1)/2
=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)/4+n*(n+1)(*(2n-1)/2
=n*(n+1)[(n-1)*(n-2)+2(2n-1)]/4
=n*(n+1)*(n^2+n)/4
=n^2*(n+1)^2/4
=[n*(n+1)/2]^2
不知道你对排列组合是否懂.
设C[m,n]=m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n!
(其中m>n)
如:
C[6,2]=6*5/(2*1)=15
(6个中选两个的组合数)
有公式:C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]
可这样理解:
在m个东西中要选n个的组合数:C[m,n]
在m个东西中要取n个,分两步取,假设A.
当取n个东西时,A有取到和不取两种情况.
当未取A时组合数为C[m-1,n]
当取A时组合数为C[m-1,n-1]
所以:C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]
同理:C[m-1,n]=C[m-2,n]+C[m-2,n-1]
C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]=C[m-2,n]+C[m-2,n-1]
+C[m-1,n-1]
...=C[m-(m-n),n]+C[m-(m-n),n-1]+C[m-(m-n)+1,n-1]+...+C[m-2,n-1]
+C[m-1,n-1]
=C[n,n]+C[m-(m-n),n-1]+C[m-(m-n)+1,n-1]+...+C[m-2,n-1]
+C[m-1,n-1]
因为:C[n,n]=1,
同样:C[n-1,n-1]=1,
因此:C[n,n]=C[n-1,n-1]
上式=C[n-1,n-1]+C[m-(m-n),n-1]+C[m-(m-n)+1,n-1]+...+C[m-2,n-1]
+C[m-1,n-1]
=C[n-1,n-1]+C[n,n-1]+C[n+1,n-1]+...+C[m-2,n-1]
+C[m-1,n-1]
因此得到公式:
C[m,n]=C[n-1,n-1]+C[n,n-1]+C[n+1,n-1]+...+C[m-2,n-1]
+C[m-1,n-1]
即:
m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n!
=(n-1)*(n-2)(n-3)*...*1/(n-1)!
+n*(n-1)(n-2)*...*2/(n-1)!
+...
+(m-2)*(m-3)(m-4)*...*(m-n-1)/(n-1)!
+(m-1)*(m-2)(m-3)*...*(m-n)/(n-1)!
同时乘以(n-1)!
得:m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n=(n-1)*(n-2)(n-3)*...*1+n*(n-1)(n-2)*...*2+...
+(m-2)*(m-3)(m-4)*...*(m-n-1)+(m-1)*(m-2)(m-3)*...*(m-n)
整理一下得:
1*2*3*...*(n-2)*(n-1)
+
2*3*4*...*(n-1)*n
+
...
...+
(m-n-1)*(m-n)*...*(m-2)
+
(m-n)*(m-n+1)*...*(m-1)
=m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n

Answer 2

1^n+2^n+3^n+4^n+......+n^n
，你把次方改成
p
和n区别开来要好一点
S=
1^p+2^p+3^p+......+n^p
当
p=1时
，
S=
n(n+1)/2
这个不多说了，
当
p=2时，
S=
n(n+1)(2n+1）/6
这个楼主也知道，并且用数学归纳法证明过，但是
一开始
怎么就知道
S=
n(n+1)(2n+1）/6
。
先看个恒等式
：
k^3
-
(k-1)^3
=
3k^2
-
3k
+1
那么：
求和符号打不出来，
我做张图片
给你看：

Answer 3

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6