Question

以抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB为直径的圆与准线切与点C(-2,-3),求圆的方程

Answer 1

∵抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB为直径的圆与准线切与点
C(-2,-3)
∴抛物线的准线为x=-p/2=-2
=>p=4
∴抛物线的焦点为F(2,0)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∵AB为抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦
∴
y1^2=8x1
......(1)
y2^2=8x2
......(2)
(1)-(2)可得：
(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)
=>K(AB)=8/(y1+y2)
.......(3)
∵AB弦为直径的圆与准线相切点C（-2，-3）
∴AB弦的纵坐标的中点坐标为-3，即(y1+y2)/2=-3
=>(y1+y2)=-6
∴(3)式中K(AB)=-4/3
设圆心为(x0,-3),则x0=17/4
而圆的半径r等于A点到准线的距离加上B点到准线的距离的一半，即：
r=[(x1+2)+(x2+2)]/2=[x1+x2+4]/2=[2x0+4]/2=[(17/2)+4]/2=25/4
∴圆的方程为：[x-(17/4)]^2+(y+3)^2=(25/4)^2
AB直线的方程为：y=-4(x-2)/3
原点到直线AB的距离为：h=|8|/√(3^2+4^2)=8/5
∴S△AOB=|AB|*h/2=(2*r)*h/2=(2*25/4)*(8/5)/2=10

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示