Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

Answer 1

我们先化简一下，因为r不等于0，r=0时，有2x-1=0，此时无整数解，所以，原式可化为x^2+(r+2)/r*x+(r-1)/r=0,由韦达定理两根x1,x2得,x1+x2=-(r+2)/r,x1x2=(r-1)/r,因为都是整数解，所以(r+2)/r和(r-1)/r都是整数，即由(r-1)/r为整数及r-1、r互质得：r=1或-1,
所以r=1时有x1+x2=-(r+2)/r=-3，x1x2=(r-1)/r=0，此时解为0，-3满足条件
r=-1时有x1+x2=-(r+2)/r=1，x1x2=(r-1)/r=2，无解。
所以r=1是唯一答案