已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等,且过定点(1...
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等,且过定点(1,22),倾斜角为π4的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P.(I...
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距相等,且过定点(1,22),倾斜角为π4的直线l交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P. (I)求椭圆C的方程; (Ⅱ)求直线l在y轴上截距的取值范围; (Ⅲ)求△ABP面积的最大值.
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解:(I)由题意可得2b=2c1a2+12b2=1a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1.
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(II)设直线l的方程为:y=x+m.
联立y=x+mx22+y2=1,消去y得到3x2+4mx+2m2-2=0,
由△=16m2-24(m2-1)>0,得m2<3,即-3<m<3.
∴直线l在y轴上的取值范围是(-3,3).
(III)设A(x1,y1),B(x2,y2).AB中点Q(x0,y0).
则x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23.
∴y1+y2=x1+x2+2m=2m3.
∴x0=x1+x22=-2m3,y0=y1+y22=m3.
∴Q(-2m3,m3).
∴AB的垂直平分线的方程为:y-m3=-(x+2m3).
令y=0,得x=-m3.即P(-m3,0).
点P到直线AB的距离d=|PQ|=(-m3+2m3)2+(0-m3)2=2|m|3.
又|AB|=(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(-4m3)2-4×2m2-23=433-m2.
∴S△ABP=12|AB|•d=12×433-m2×2|m|3
=2293m2-m4=229-(m2-32)2+94.
∵m2<3,∴当且仅当m2=32时,△ABP面积取得最大值23.
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(II)设直线l的方程为:y=x+m.
联立y=x+mx22+y2=1,消去y得到3x2+4mx+2m2-2=0,
由△=16m2-24(m2-1)>0,得m2<3,即-3<m<3.
∴直线l在y轴上的取值范围是(-3,3).
(III)设A(x1,y1),B(x2,y2).AB中点Q(x0,y0).
则x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23.
∴y1+y2=x1+x2+2m=2m3.
∴x0=x1+x22=-2m3,y0=y1+y22=m3.
∴Q(-2m3,m3).
∴AB的垂直平分线的方程为:y-m3=-(x+2m3).
令y=0,得x=-m3.即P(-m3,0).
点P到直线AB的距离d=|PQ|=(-m3+2m3)2+(0-m3)2=2|m|3.
又|AB|=(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(-4m3)2-4×2m2-23=433-m2.
∴S△ABP=12|AB|•d=12×433-m2×2|m|3
=2293m2-m4=229-(m2-32)2+94.
∵m2<3,∴当且仅当m2=32时,△ABP面积取得最大值23.
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