Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴长与焦距相等，且过定点(1...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴长与焦距相等，且过定点(1，22)，倾斜角为π4的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求直线l在y轴上截距的取值范围； （Ⅲ）求△ABP面积的最大值．

Answer 1

解：（I）由题意可得2b=2c1a2+12b2=1a2=b2+c2，解得a2=2，b2=1．
∴椭圆C的方程为x22+y2=1．
（II）设直线l的方程为：y=x+m．
联立y=x+mx22+y2=1，消去y得到3x2+4mx+2m2-2=0，
由△=16m2-24（m2-1）＞0，得m2＜3，即-3＜m＜3．
∴直线l在y轴上的取值范围是(-3，3)．
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2）．AB中点Q（x0，y0）．
则x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23．
∴y1+y2=x1+x2+2m=2m3．
∴x0=x1+x22=-2m3，y0=y1+y22=m3．
∴Q(-2m3，m3)．
∴AB的垂直平分线的方程为：y-m3=-(x+2m3)．
令y=0，得x=-m3．即P(-m3，0)．
点P到直线AB的距离d=|PQ|=(-m3+2m3)2+(0-m3)2=2|m|3．
又|AB|=(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(-4m3)2-4×2m2-23=433-m2．
∴S△ABP=12|AB|•d=12×433-m2×2|m|3
=2293m2-m4=229-(m2-32)2+94．
∵m2＜3，∴当且仅当m2=32时，△ABP面积取得最大值23．