Question

设函数f(x)=sinωx+23sin2ωx2（ω＞0）的最小正周期为2π3．（...

设函数f(x)=sinωx+23sin2ωx2（ω＞0）的最小正周期为2π3． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若将y=f（x）的图象向左平移π2个单位可得y=g（x）的图象，求不等式g(x)≥23的解集．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f(x)=sinωx+23sin2ωx2=sinωx+3(1-cosωx)=2sin(ωx-π3)+3，
∴由函数f（x）的周期T=2πω=2π3，可得ω=3
∴f(x)=2sin(3x-π3)+3
（Ⅱ）由题意得，g(x)=f(x+π2)
=2sin[3(x+π2)-π3]+3=2sin(3x+7π6)+3
∴由g(x)≥23，得sin(3x+7π6)≥32，
∴2kπ+π3≤3x+7π6≤2kπ+2π3，(k∈Z)
∴2kπ3-5π18≤x≤2kπ3-π6，(k∈Z)．
∴所求不等式的解集为{x|2kπ3-5π18≤x≤2kπ3-π6，(k∈Z)}．