Question

高等数学积分证明题？

如图，求大佬，谢谢！

Answer 1

（1）证明：用反证法，假设对∀x∈[0,1]，都有|f(x)|<=4，且f(x)不恒等于4
则1=4*∫(0,1) |x-1/2|dx
>∫(0,1) |x-1/2|*|f(x)|dx
>=∫(0,1) (x-1/2)f(x)dx
=∫(0,1) xf(x)dx-(1/2)*∫(0,1) f(x)dx
=1
1>1，矛盾，所以存在ξ∈[0,1]，使得|f(ξ)|>4
（2）证明：根据积分中值定理，存在k∈[0,1]，使得f(k)=∫(0,1) f(x)dx=0
因为f(x)在[0,1]上连续，则|f(x)|也在[0,1]上连续
且|f(k)|=0，|f(ξ)|>4
根据连续函数介值定理，在k与ξ之间存在η∈[0,1]，使得|f(η)|=4