Question

经过双曲线x平方-y平方/3=1的左焦点F1作倾斜角为π/6的弦AB。

求(1)线段AB的长。(2)设F2为右焦点，求△F2AB的面积。图画的不好，见谅，凑活着用吧....

Answer 1

双曲线x²-y²/3=1，a=1，b=√3，c=2，F₁(-2，0);F₂(2，0);KAB=tan(π/6)=√3/3;
故AB所在直线的方程为y=(√3/3)(x+2)，代入双曲线方程得:x²-(x+2)²/9=1;
即有8x²-4x-13=0;设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂);则x₁+x₂=1/2，x₁x₂=-13/8;于是得弦AB的长:
∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{4/3)[1/4+13/2]}=√[(4/3)(27/4)]=3;
F₂到直线AB的距离h=[(4/3)√3]/√12=2/3;
故△F₂AB的面积S=(1/2)×3×(2/3)=1.