Question

n^2+1是4的倍数,这样的整数n存在吗？

Answer 1

不存在。
有两种情况：
当n为偶数时，可知该式为奇数，不可被4整除。
当n为奇数时，可设它为（2a+1），a为整数。
则n^2+1=4a^2+4a+2=4（a^2+a）+2
因为a^2+a为整数，所以当n为奇数时，n^2+1不能被4整除，总余2。
所以n^2+1不可能是4的整数倍

Answer 2

Answer 3

求证：若n为整数，则n²+1不是4的倍数。

声明：由于n²=(-n)²，则当n<0时，不妨由-n即|n|来代替.

①当n<0

原式=1，得证。

②当n为偶数

∴n²为偶数

∴n²+1为奇数，不是4的倍数，得证。

③当n为奇数

设n²+1=4k（k为正整数）

若不成立，得证。

若成立，则有(n²+1)/4=k

∴(n²+1)/4-1/2=k不成立

∴(n²-1)/4=[(n+1)/2][(n-1)/2]=k不成立

∵n为奇数,所以(n+1)和(n-1)均为偶数

∴[(n+1)/2]和[(n-1)/2]均为整数，所以k为整数

∴(n²-1)/4=[(n+1)/2][(n-1)/2]=k成立，与“(n²-1)/4=[(n+1)/2][(n-1)/2]=k不成立”矛盾

所以假设不成立，得证。

根据①②③，可得若n为整数，则n²+1不是4的倍数。

证毕