Question

高等代数，矩阵运算

A为nxn矩阵，A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

Answer 1

利用两个引理就可以了～
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0，则r（A）+r（B）<=n
（2）对于n阶矩阵A、B，有r（A+B）<=r（A）+r（B）
证明上面的两个引理：
（1）因为AB=0，所以B的列向量均为AX=0的解，则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数，即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩），从而r（A）+r（B）<=n
（2）设a1，…，an为A的列向量，b1，…，bn为B的列向量，不妨设a1，…，ar为A的列向量的极大线性无关组，b1，…，bl为B的列向量的极大线性无关组，则a1，…，an均可由a1，…，ar线性表出，b1，…，bn均可由b1，…，bl线性表出，从而A+B的列向量a1+b1，…an+bn均可由a1，…，ar，b1，…，bl线性表出，从而r（A+B）<=r（a1，…，ar，b1，…，bl）<=r（a1，…，ar）+r（b1，…，bl）=r（A）+r（B）
现在来证明该题：
利用（1），有r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）>=r（A+E-A）=r（E）=n
又A^2-A=A（A-E）=0
从而利用（2）可得r（A）+r（A-E）<=n
所以r（A）+r（A-E）=n