Question

已知实数a,b满足1<=a+b<=4,0<=a-b<=1,且a-2b有最大值，试求2010a+2011b的值

Answer 1

据题意，a-2b必定可以设定为正，则a-2b有最大值时为正且a为正, 令a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b 比较可得 m+n=1,m-n=-2 m=-1/2,n=3/2 所以有:-2<=-(a+b)/2<=-1/2 ,0<=3(a-b)/2<=3/2 而a-2b=m(a+b)+n(a-b)=-(a+b)/2+3(a-b)/2 所以a-2b为最大值时比较可以得:-(a+b)=-1/2,3(a-b)/2=3/2, 解得a=1,b=0 所以2010a+2011b=2010 -------------- 严格地说,这个暗含高等数学的解题思路的解法,所以不要问为什么要设a-2b=m(a+b)+n(a-b),怎么才能想到. 又为什么要 -2<=-(a+b)/2<=-1/2,0<=3(a-b)/2<=3/2 只能说这个如果是中学的题,出这个题目的人是变态. ---------------------- 还有种思路: 令a+b=x,a-b=y,则题转化为: 1≤x≤4,0≤y≤1,且-0.5x+1.5y有最大值,求值 作图,观察函数可得过(1,1)时-0.5x+1.5y有最大值,进而可得a=1,b=0 ----------------------------- 这个也是在高数,线性代数里常有这样的解题思路,且在高数里常常用到.

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