Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E分别为AB、BC的中点...

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E分别为AB、BC的中点，且AB•CD=BC•AE． （1）求证：a2，b2，c2成等差数列； （2）求∠B及sinB+cosB的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：由D、E分别为AB、BC的中点，可得 AB•CD=BC•AE，
（CB-CA）•（CB+CA ）=（AC-AB）•（AC-AB），∴CB2- CA2=AC2-AB2，
∴a2-b2=b2-c2，
∴a2，b2，c2成等差数列．
（2）解：由（1）得b2=a2+c22，
由余弦定理得
cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a2+c222ac=a2+c24ac≥12，又B∈(0，π)，故0＜B≤π3．
而
sinB+cosB=2sin(B+π4)，B+π4∈(π4，7π12]，
∴1＜sinB+cosB≤2，
sinB+cosB的取值范围为（1，2]．