Question

有没有关于无理数次幂的运算法则？

对于有理数幂的运算，我们大家都是比较熟悉的，但是无理次幂要怎么算呢？有没有什么运算法则？ 对于指数函数 y=a^x,我们只考虑底数a>0且a不等于1的情况，若a小于0时，函数的图像有规律吗？反函数是否存在？若存在的话，怎么求它的反函数？ 还有就是-1的无理次幂要怎么算？

Answer 1

如果在复数范围内研究，指数函数y=a^x是这样定义的：y=e^(x*lna)，实变函数里的指数函数可以看作是它的特例。 我们知道，在实数范围内，负数与0是没有对数的，所以实变函数里的指数函数的底a只能取正数；在复数范围内，0仍然是没有对数的，非零复数都是有对数的，就是说负数是有对数的，负数的对数是一个虚数，如果a是负数，则lna=ln|a|+i*(2k+1)π（k为整数）， 例如ln(-1)=i*(2k+1)π（k为整数）。 而对复数m+i*n（m、n是实数）， e^(m+i*n)定义为(e^m)*(cosn+i*sinn)， 这样函数y=(-1)^x=e^[x*ln(-1)]=e^[i*(2k+1)π*x] 当x=1/3时，y=e^[i*(2k+1)π/3]，有三个函数值： k=0，y=e^[i*π/3]=cos(π/3)+i*sin(π/3)=(1/2)+i*(√3)/2 k=1，y=e^[i*π]=cos(π)+i*sin(π)=-1 k=2，y=e^[i*5π/3]=cos(5π/3)+i*sin(5π/3)=(1/2)-i*(√3)/2 其中恰好有一个是实数，不要误以为-1是实变函数里指数函数的函数值。 如果x取无理数，y=(-1)^x是有无穷多值的函数。

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