Question

35题，端点处的收敛性怎么判断？无穷级数的题，求过程，谢谢！〔-3，3）

Answer 1

　　35. 在 x=3 处，级数的通项为
　　　　(3^n)/{n[(3^n)+(-2)^n]} = 1/{n[1+(-2/3)^n]}，
（级数是正项级数）它与 1/n 的比值的极限为 1，根据比较判别法可知该级数发散；
　　在 x=-3 处，级数的通项为
　　　　[(-3)^n]/{n[(3^n)+(-2)^n]} = [(-1)^n]/{n[1+(-2/3)^n]}，
该级数是交错级数，虽然
　　　　1/[1+(-2/3)^n] → 1 (n→∞)，
但还是无法用 Leibniz 判别法判别该级数收敛（可能要用别的方法，再想想……）

追问

恩，麻烦了…

追答

　　抱歉，有想法一直没有写出来，大概是这样：记 a(n) = 1/{n[1+(-2/3)^n]}，有

　　　　a(n)-a(n+1) = ……
　　　= 1-[(-2/3)^n](5n+2)/3
　　　≥ 1-[(2/3)^n](5n+2)/3 > 0 (当 n 足够大时)，
可得数列 {a(n)} 单调下降趋于零，据Leibniz 判别法判别该级数收敛。