Question

若实数a,b,c,满足a＋b＋c＝0，abc＝1 ，求证:a,b,c中至少有一数不小于三分之二。。

若实数a,b,c,满足a＋b＋c＝0，abc＝1 ，求证:a,b,c中至少有一数不小于三分之二。。。 要过程。。

Answer 1

根据题意,可设A<0,B<O,C>0.
则有C=-A-B,
因为-A+(-B)大于等于2倍根号下AB(算术平均数大于几何平均数,)
所以C大于等于2倍根号下AB
因为abc=1,所以AB=1/C
两式整理可得
证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数、两个负数，
不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,
又：bc=1/a;
于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数，
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
这也就证明了a,b,c中必有一个大于等于1.5