Question

最小值问题？

xy＝2，（x-1）²+（y-1）²的最小值是在x＝y＝√2时取得吗？为什么

Answer 1

先理解表达式的几何意义。表达式是点(1，1)到曲线xy=2的距离的平方。点(1，1)到该曲线距离平方最小时。x=y=√2

这个也可以理论证明。最小的时候曲线上的点(x,y)和点(1，1)的连线与曲线xy=2在该点(x,y)处的切线垂直。利用这个条件可以解出(x,y)。

Answer 2

不对的，解题过程如下：y=2/x
（x-1）²+（y-1）²
=(x-1)²+(2/x-1)²
=x²-2x+1+4/x²-4/x+1
=x²+4+4/x²-2(x+2/x)-2
=(x+2/x)²-2(x+2/x)-2
=(x+2/x-1)²-3
当x+2/x-1=3时，最小值为-3
此时x=2±√2
望采纳，谢谢

Answer 3

（x-1）²+（y-1）²

=x²-2x+1+y²-2y+1
=x²+y²-2x-2y+2
=x²+4+y²-2（x+y）+2-4 因为xy=2 所以
=x²+2xy+y²-2（x+y）-2
=（x+y）²-2（x+y）+1-3
=（x+y-1）²-3
根据绝对不等式：（a+b）/2>√（ab）
当x=√2时，x+y-1=2√2-1，(x+y-1)²=9-4√2
最小值为9-4√2-3=6-4√2