Question

如何证明一个数是有理数

要证明过程

Answer 1

应该说，证明或否定一个数x是有理数，没有固定的办法，必须就事论事。
最初等的办法，就是设x是个有理数，例如x=m/n，m是整数，n是正整数（m的正负与x相同），且m和n互质。由此去推理，如果能求出m和n，则x是有理数；如果推出矛盾，则x是无理数。
例如√2的无理性就是这么证明的（两边平方，……，发现m和n又有公因子了），我们都会了。
再比如，像0.101001000100001...这个数的无理性，我们是设它的循环节有n位来导出矛盾的。
然而，此方法并不是万能的。例如π和e（自然对数的底）的无理性，用上述办法证明是几乎不可能的。所以它们的无理性都有各自的证法。
再比如，e^π（e的π次方）这个数，是否是无理数争议了很久。就是因为无法去证明或否定。
事实上，无理数远比想象的多，不存在一个一般的证法去证明或否定一切数是否是有理数。