Question

用待定系数的方法求微分方程

哪位大神可以帮我解决这两道题啊！！
y′′ + 3y′ + 2y = x

y′′ − x^3 + 1 = 0

Answer 1

1.    y''+3y'+2y=x,  特征方程 r^2+3r+2=0,  得 特征根 r=-1，-2，

   则用待定系数法设特解 y*=ax+b， 代入微分方程，得 3a+2ax+2b=x，

   解得 a=1/2, b=-3/4.  即特解 y*=x/2-3/4.

   则微分方程的通解是 y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+x/2-3/4.

2. y''-x^3+1=0,   y''=x^3-1,   y'=x^4/4-x+C1,  y=x^5/20-x^2/2+C1x+C2.

追问

为什么我看老师给的例题里 有 y=多少 y‘=多少 y’‘=多少然后再代入？
你的好像没有这一步。
yh=c1多少+c2多少
然后yp,y'p,y4p各等于多少 然后再代入

追答

这么简单地题目，给了你解题思路，具体每一小步，你完全可以自己做么。
老师讲一个例题，分那么多步，稍微熟练了，还是要省略的。

追问

可以麻烦你把第一题的详细步骤写下来么？我对这题不太了解。

追答

1. y''+3y'+2y=x,  则特征方程是 r^2+3r+2=0,  解得特征根 r=-1，-2。

   用待定系数法求特解，设特解形式为 y*=ax+b，则 y'=a,  y''=0.

   代入微分方程，得 3a+2ax+2b=x，比较 x 同次幂的系数，

   得 2a=1， 3a+2b=0。

   解得 a=1/2, b=-3/4.  即特解 y*=x/2-3/4.

   对应的齐次微分方程的通解是 y上边一横=C1e^(-x)+C2e^(-2x)，

   则原非齐次微分方程的通解是 y=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+x/2-3/4.

   其中 C!，C2 为任意常数

    

   你若有任何一本高等数学教科书，请仔细看一下微分方程一章，

   二阶常系数非齐次微分方程一节.

Answer 2

是比较系数法吧？

追问

我也不知道，我是直接翻译过来的
英文是the method of undetermined coefficients，
你能帮我这个忙吗？非常感谢。

追答

奥应该可以，我算算。

追问

谢谢啊，需要详细步骤。麻烦你了。

追答

先求特征方程的特征根：
p^2+3p+2=0,解得-1 ， -2
所以y=c1*e^(-x)+c2*e^(-2x)
所以y‘=-c1*e^(-x)-2c2*e^(-2x) ; y"=c1*e^(-x)+4c2*e^(-2x)
带入原方程：比较系数可解c1,c2

追问

你好，可以知道全过程么？我对这题一点都不了解。