Question

已知函数f(x)=lnx+a/x,若函数f(x)在[1,e]上的最小值是2/3,求a的值

已知函数f(x)=lnx+a/x (1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间 （2）若函数f(x)在[1，e]上的最小值是2/3，求a的值

Answer 1

这道题应该是在考察导数的运用。
求导，得：f'(x)=1/x-a/x2=0,解得x=a；当x<a时，f'(x)<0,原函数为减函数，当x>a时，f'(x)>0，原函数为增函数，所以x=a为其最小值点。
当a属于[1，e]时，x=a为其最小值点,则f(a)=lna+a/a=lna+1=2/3，解得a=e-1/3,可知此时a<1,与前面的区间条件矛盾，此解舍去，a不属于[1，e]；
故在[1，e]上f'(x)不等于0，因此f(1)=ln1+a/1=a，f(e)=lne+a/e=a/e+1,
若a<1,原函数在[1，e]为增函数，此时f(1)=a为最小值2/3，则a=2/3符合题意和假设；
若a>e,原函数在[1，e]为减函数，此时f(e)=a/e+1为最小值2/3，则a=-e/3不符合假设，舍去此解；
综上，可知a=2/3.