Question

已知实数xy满足:x^2-y^2+2y+3=0,求x^2+y^2的最小值

Answer 1

x^2-y^2+2y+3=0
配方得:x²-(y-1)²=-4
即(y-1)²/4-x²/4=1
表示以（0,1）为中心,焦点在y轴上的双曲线
a²=b²=4,a=b=2
∴双曲线的顶点为：下(0,-1）,上(0,3)
x²+y²表示双曲线上的动点M(x,y)到原点O距离的
平方|PO|²,当P运动到(0,-1)时,|PO|min=1
∴当x=0,y=-1时,x²+y²的最小值为1
法2：
∵x²-y²+2y+3=0
那么x²=y²-2y-3≥0解得y≤-1或y≥3
所以x²+y²=y²-2y-3+y²=2y²-2y-3=2(y-1/2)²-7/2
∵y≤-1或y≥3 ∴当y=-1时,取得最小值1