Question

!△∵:i∴

如图，点I是△ABC的内心，AI交BC边于D，交△ABC的外接圆于点E． 求证：（1）IE=BE； （2）IE是AE和DE的比例中项．

Answer 1

证明：（1）连接BI， ∵I是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠BIE=∠1+∠3， ∠IBE=∠5+∠4， 而∠5=∠1=∠2， ∴∠BIE=∠IBE， ∴IE=BE． （2）根据（1）可得： ∵∠2=∠1=∠5，∠E=∠E， ∴△AEB ∽ △BED， ∴ AE BE = BE DE ， ∵BE=IE， ∴ AE IE = IE DE ， ∴IE是AE和DE的比例中项．