Question

已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是

当a=0时，f(x)=-3x^2+1有两个零点，不符
当a不等于0时，f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)，得极值点x=0, 2/a
当a>0时，f(0)=1为极大值；f(2/a)=-4/a^2+1为极小值；
在(-∞,0)必有一个零点，怎么知道的？

Answer 1

根据单调性得到。
a>0时，单调增区间为x<0, 或x>2/a, 单调减区间为(0,2/a)
由于f(0)=1, f(-∞)=-∞,因此在x<0必然有且只有一个解。